Архив задач


Задача 14.

Отправлено 16 мая 2017 г., 22:02 пользователем Vic Bloody

 Вася перемножил все нечетные натуральные числа, меньшие тысячи. Какая цифра стоит у произведения в разряде десятков?

Ответ: 2.

Решение. Обозначим произведение из условия задачи через П. Так как все числа нечетны, то П нечётно. Так как в произведение входят как минимум 2 множителя кратных 5, то П делится на 25. Поэтому оно оканчивается на 25 или 75. Остаток от деления П на 4 равен остатку от деления на 4 двузначного числа, образованного двумя его последними цифрами, то есть 1, если это 25, и 3, если это 75. Среди 500 сомножителей, дающих П, поровну — по 250 — дающих при делении на 4 остатки 1 и 3. Поскольку произведение чётного числа сомножителей, имеющих остаток 3 при делении на 4, имеет остаток 1 при делении на 4, такой же остаток при делении на 4 даёт и число П. Отсюда ответ.

Комментарии: 

  • Нечетные натуральные числа, меньшие тысячи, это числа от 1 до 999.
  • При решении математических задач применение вычислительной техники запрещено. То есть все вычисления требуется выполнять самостоятельно.
  • Если решение опирается на наблюдаемую в результатах закономерность, то требуется доказать, что это действительно закономерность, то есть она будет соблюдаться всегда.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 5 баллов: Неполное обоснование причины, по которой произведение в каждой сотне, оканчивается на 75.
  • 3 балла: Не доказано, что наблюдаемое при вычислениях явление, является закономерностью. И при этом решение опирается на этот факт.
  • 2 баллаВерное решение для ряда нечетных чисел меньших 100.
  • 1 балл: Правильный ответ, при неверном решении. Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.

Задача 13.

Отправлено 11 мая 2017 г., 21:50 пользователем Vic Bloody

У Васи есть 9 палочек по 5 см и 9 палочек по 6 см. Он хочет, разломав несколько палочек, сложить из всех получившихся кусков равносторонний 11-угольник. Каким наименьшим количеством разломов он может обойтись?

Ответ: Семью.

Решение.

Оценка: Общая длина всех палочек составляет 99 см, поэтому стороны 11-угольника должны равняться 9 см. Покажем, что 6 разломов не хватит. В самом деле, если мы сделали 6 разломов, то по крайней мере 12 палочек остались целыми. Значит, в составе по крайней мере одной из сторон 11-угольника окажется хотя бы две целых палочки. Но суммарная длина любых двух целых палочек больше 9 см.

Пример: Разломаем три шестисантиметровых палочки пополам и приставим по кусочку к 6 оставшимся шестисантиметровым палочкам. Получим 6 девятисантиметровых сторон. Теперь отломаем от четырёх пятисантиметровых палочек по куску длиной 1 см. Все отломанные куски приложим к одной из оставшихся пятисантиметровых палочек, а оставшиеся четырёхсантиметровые куски — по одному к остальным оставшимся пятисантиметровым палочкам. Получим 11 девятисантиметровых сторон: шесть сторон (6 + 3), четыре стороны (5 + 4) и одна сторона (5 + 1 + 1 + 1 + 1).

Комментарии: 

В данной задаче требовалось найти число, доказать, что меньше быть не может и привести пример разломов палочек и составления из них правильного одиннадцатиугольника для найденного числа (оценка + пример). При отсутствии любой из частей решения, задача считается нерешенной.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 3 балла:   Отсутствует оценка при правильном примере.
  • 1 балл:     Правильный ответ и верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка. 

Задача 12.

Отправлено 4 мая 2017 г., 21:04 пользователем Vic Bloody

В 12-значном числе, делящемся на 9, заменили цифры буквами: одинаковые — одинаковыми, разные — разными. Получилось слово МАГНИТОГОРСК. Чему может быть равно Г+О?

Ответ: 9.

Решение. В слове МАГНИТОГОРСК 10 различных букв. Значит, в исходном числе были все цифры от 0 до 9, причём цифры, зашифрованные буквами Г и О, повторяются дважды. Сумма всех цифр от 0 до 9 равна 45. Поэтому сумма всех цифр исходного числа равна (45+Г+О). По признаку делимости (число делится на 9 тогда и только тогда когда его сумма цифр делится на 9) она должна делиться на 9. Так как 45 делится на 9 и (45+Г+О) делится на 9, то по свойствам делимости сумма (Г + О) делится на 9. Так как Г и О это различные цифры, то 0+1  Г+О  8+9. А между числами 1 и 17 только число 9 делится на 9. Получаем: Г+О = 9.

Комментарии: 

В решении нужно обосновывать, почему из всех чисел кратных 9 (0, 9,18, …) подходит только число 9.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 6 баллов: В решении допущена ошибка, не влияющая на ход решения.
  • 5 баллов: Отсутствует обоснование причины, по которой для суммы (Г + О) подходит только число 9 или неполное обоснование причины, по которой сумма (Г + О) делится на 9
  • 4 балла: Неполное обоснование решения, допущены ошибки.

Задача 11.

Отправлено 27 апр. 2017 г., 11:34 пользователем Vic Bloody

Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На двери каждой комнаты написано: «Тут ровно один мальчик». Известно, что среди этих надписей есть ровно три неверные. Докажите, что в одной из комнат находятся ровно три мальчика.

Решение. Так как есть ровно три неверные надписи, а всего надписей 100 (столько же сколько и комнат), значит верных надписей 97. В 97 комнатах, надписи на которых верны, находятся 97 мальчиков. Значит, в трёх оставшихся комнатах вместе взятых находятся 3 мальчика (100 – 97 = 3). При этом каждая из них либо пуста, либо в ней сидят не меньше двух мальчиков. Если в какой-то из комнат находятся ровно двое, то оставшийся находится в другой комнате и, стало быть, надпись на ней верна, что противоречит нашему предположению. Значит, все трое находятся в одной комнате.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 6 баллов: Отсутствует обоснование причины, по которой рассматриваются ровно три комнаты, в которых находятся ровно три мальчика.
  • 5 баллов: Верное решение, но рассмотренное на определенных комнатах.
  • 4 балла: Верное решение, но рассмотренное на определенных комнатах и при этом отсутствует обоснование причины, по которой рассматриваются ровно три комнаты, в которых находятся ровно три мальчика..
  • 3 балла: Обоснована причина, по которой рассматриваются ровно три комнаты, в которых находятся ровно три мальчика, но не доказано, почему все три мальчика должны быть в одной комнате.

Задача 10.

Отправлено 20 апр. 2017 г., 7:24 пользователем Vic Bloody

Может ли шестизначное число вида  быть квадратом натурального числа (цифры a и b не обязательно различны)?

Ответ: Нет. 

Комментарии:

  • В данной задаче не достаточно дать «голый ответ». Требуется привести рассуждения, которые привели к данному ответу. Только ответ оценивается в 0 баллов.
  • При решении перебором необходимо предъявить полный перебор.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 5 баллов: Отсутствует обоснование того, почему число  не делится на 37.
  • 3 баллаПри решении перебором рассмотрены не все случаи и/или в некоторых случаях допущены ошибки.
  • 2 баллаПрисутствует разложение числа на множители, но после дан неверный вывод.
  • 1 балл: Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.

Задача 9.

Отправлено 13 апр. 2017 г., 22:15 пользователем Vic Bloody

Каким наименьшим количеством одинаковых картонных клетчатых фигур, изображённых снизу, можно полностью покрыть квадрат 6*6 клеток? Фигуры могут вылезать за пределы квадрата, но не могут пересекаться

Ответ: Восемью. 

Решение. 

Оценка: Площадь одной фигуры 5. Значит, площадь, которую, покроют 7 фигур равна 7´5 = 35. Площадь квадрата 6´6 = 36. 35 < 36. Значит, семи фигур не хватит.

Пример:

Комментарии: 

В данной задаче требовалось найти число, доказать, что меньше быть не может и привести пример расположения фигур для найденного числа (оценка + пример). При отсутствии любой из частей решения, задача считается нерешенной.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 3 баллаОтсутствует оценка при правильном примере.
  • 2 баллаОтсутствует пример, для найденного значения, при правильной оценке.
  • 1 балл: Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.

Задача 8.

Отправлено 6 апр. 2017 г., 9:18 пользователем Vic Bloody

Заряженного аккумулятора в сотовом телефоне хватает на 6 часов разговора или на 120 часов ожидания. Сколько времени надо проговорить, чтобы заряженный аккумулятор разрядился ровно через сутки?

Ответ: 96/19 часа или 5  1/19 часа.

Решение. За час разговора аккумулятор разряжается на 1/6, а за час ожидания — на 1/120 часть своей ёмкости. Пусть для того, чтобы аккумулятор разрядился через сутки, надо проговорить x часов. Тогда в состоянии ожидания он будет (24–x) часов, и выполнено равенство:

 x/6+(24–x)/120 = 1.

x/6 + 1/5 –x/120 = 1.

(19 x)/120 = 4/5.

Находя из этого равенства x, получаем ответ.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 5 баллов: В решение отсутствует упрощение уравнения (системы уравнений).
  • 1 балл: Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.

Задача 7.

Отправлено 31 мар. 2017 г., 2:17 пользователем Vic Bloody

Маша первый вторник месяца провела в Челябинске, а первый вторник после первого понедельника этого же месяца она была в Магнитогорске. В первую среду следующего месяца Маша была в Миассе, а первую среду после первого вторника того же месяца она провела в Екатеринбурге. Где Маша в том году была 8 марта?

Ответ. В Екатеринбурге.

Решение. Вторник, который Маша провела в Магнитогорске, не был первым вторником этого месяца (так как первый вторник месяца Маша провела в Челябинске), а понедельник перед ним был первым понедельником этого месяца, значит этот месяц начинался со вторника. По аналогичной причине (нахождение в разных городах в первую среду и первую среду после первого вторника того же месяца) следующий месяц начинался со среды. Так как в неделе 7 дней получаем, что в предыдущем месяце могло быть:  дней. Но такое возможно только если в предыдущем месяце было 29 дней. Значит, предыдущий месяц — февраль. 1 марта Маша была в Миассе, а 8 марта — в Екатеринбурге.

Комментарии: 

В данной задаче есть два ключевых момента, которые требуется доказать:

  • Почему первый месяц начинается со вторника, второй со среды;
  • Почему в первом месяце 29 дней.

В зависимости от полноты их доказательства выставлялись баллы.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 6 баллов: Недостаточное обоснование того, почему первый месяц начинается со вторника, второй со среды или того, почему в первом месяце 29 дней.
  • 5 баллов: Отсутствует обоснование того, почему в первом месяце 29 дней.
  • 4 балла: Недостаточное обоснование того, почему первый месяц начинается со вторника, второй со среды и отсутствует обоснование того, почему в первом месяце 29 дней.
  • 3 баллаВерные рассуждения в начале решения, но в итоге допущена логическая ошибка
  • 2 балла: Ответ при отсутствие обоснования того, почему первый месяц начинается со вторника, второй со среды и того, почему в первом месяце 29 дней.
  • 1 баллПравильный ответ при неверном решении.

Задача 6.

Отправлено 23 мар. 2017 г., 8:29 пользователем Vic Bloody

Найдите наибольший простой делитель числа 99!+100!+101!.

Ответ: 101.

Решение99! + 100! + 101! = 99! × (1 + 100 + 100 × 101) = 99! × (101 + 100 × 101) = 99! × 101 × (1 + 100) = 99! × 1012. Поскольку 101 — простое число, а все простые сомножители числа 99! меньше 100, 101 является искомым наибольшим простым сомножителем.

Комментарии: 

При решении задач применение вычислительной техники не предполагается. То есть все вычисления требуется выполнять письменно.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 6 баллов: Отсутствие разложения на множители числа 10201, если такое число было получено в ходе решения или допущена ошибка, не влияющая на ход решения
  • 5 баллов: Отсутствие доказательства факта, что 101 наибольший простой делитель.
  • 4 балла: Допущена ошибка, не влияющая на ход решения и при этом отсутствие доказательства факта, что 101 наибольший простой делитель.
  • 3 баллаВерные рассуждения в начале решения, но в итоге допущена логическая ошибка
  • 1 балл: Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка

Задача 5.

Отправлено 16 мар. 2017 г., 8:54 пользователем Vic Bloody

 Можно ли разрезать квадрат на 4 части так, чтобы из них можно было сложить треугольник, у которого одна из сторон в 8 раз длиннее другой? 

Ответ. Да. Решение. Разрежем квадрат по средней линии и соединим два полученных прямоугольника короткими сторонами. Получим прямоугольник, у которого одна из сторон вчетверо короче другой. Проведём разрез от одной из его вершин до середины противоположной короткой стороны и повернём отрезанный треугольник на 180° вокруг конца разреза. Вместе с оставшейся частью прямоугольника он составит прямоугольный треугольник, у которого одна из сторон, образующих прямой угол, в 8 раз длиннее другой.


Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 6 баллов: При наличии алгоритма разрезания, отсутствует картинка.

1-10 of 14