Ответ: 2.

Решение. Обозначим произведение из условия задачи через П. Так как все числа нечетны, то П нечётно. Так как в произведение входят как минимум 2 множителя кратных 5, то П делится на 25. Поэтому оно оканчивается на 25 или 75. Остаток от деления П на 4 равен остатку от деления на 4 двузначного числа, образованного двумя его последними цифрами, то есть 1, если это 25, и 3, если это 75. Среди 500 сомножителей, дающих П, поровну — по 250 — дающих при делении на 4 остатки 1 и 3. Поскольку произведение чётного числа сомножителей, имеющих остаток 3 при делении на 4, имеет остаток 1 при делении на 4, такой же остаток при делении на 4 даёт и число П. Отсюда ответ.

Комментарии: 

• Нечетные натуральные числа, меньшие тысячи, это числа от 1 до 999.
• При решении математических задач применение вычислительной техники запрещено. То есть все вычисления требуется выполнять самостоятельно.
• Если решение опирается на наблюдаемую в результатах закономерность, то требуется доказать, что это действительно закономерность, то есть она будет соблюдаться всегда.

Оценивание:

• 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
• 5 баллов: Неполное обоснование причины, по которой произведение в каждой сотне, оканчивается на 75.
• 3 балла: Не доказано, что наблюдаемое при вычислениях явление, является закономерностью. И при этом решение опирается на этот факт.
• 2 балла: Верное решение для ряда нечетных чисел меньших 100.
• 1 балл: Правильный ответ, при неверном решении. Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.

Ответ: Семью.

Решение.

Оценка: Общая длина всех палочек составляет 99 см, поэтому стороны 11-угольника должны равняться 9 см. Покажем, что 6 разломов не хватит. В самом деле, если мы сделали 6 разломов, то по крайней мере 12 палочек остались целыми. Значит, в составе по крайней мере одной из сторон 11-угольника окажется хотя бы две целых палочки. Но суммарная длина любых двух целых палочек больше 9 см.

Пример: Разломаем три шестисантиметровых палочки пополам и приставим по кусочку к 6 оставшимся шестисантиметровым палочкам. Получим 6 девятисантиметровых сторон. Теперь отломаем от четырёх пятисантиметровых палочек по куску длиной 1 см. Все отломанные куски приложим к одной из оставшихся пятисантиметровых палочек, а оставшиеся четырёхсантиметровые куски — по одному к остальным оставшимся пятисантиметровым палочкам. Получим 11 девятисантиметровых сторон: шесть сторон (6 + 3), четыре стороны (5 + 4) и одна сторона (5 + 1 + 1 + 1 + 1).

Комментарии: 

В данной задаче требовалось найти число, доказать, что меньше быть не может и привести пример разломов палочек и составления из них правильного одиннадцатиугольника для найденного числа (оценка + пример). При отсутствии любой из частей решения, задача считается нерешенной.

Оценивание:

• 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
• 3 балла:   Отсутствует оценка при правильном примере.
• 1 балл:     Правильный ответ и верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка. 

Решение. Так как есть ровно три неверные надписи, а всего надписей 100 (столько же сколько и комнат), значит верных надписей 97. В 97 комнатах, надписи на которых верны, находятся 97 мальчиков. Значит, в трёх оставшихся комнатах вместе взятых находятся 3 мальчика (100 – 97 = 3). При этом каждая из них либо пуста, либо в ней сидят не меньше двух мальчиков. Если в какой-то из комнат находятся ровно двое, то оставшийся находится в другой комнате и, стало быть, надпись на ней верна, что противоречит нашему предположению. Значит, все трое находятся в одной комнате.

Оценивание:

• 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
• 6 баллов: Отсутствует обоснование причины, по которой рассматриваются ровно три комнаты, в которых находятся ровно три мальчика.
• 5 баллов: Верное решение, но рассмотренное на определенных комнатах.
• 4 балла: Верное решение, но рассмотренное на определенных комнатах и при этом отсутствует обоснование причины, по которой рассматриваются ровно три комнаты, в которых находятся ровно три мальчика..
• 3 балла: Обоснована причина, по которой рассматриваются ровно три комнаты, в которых находятся ровно три мальчика, но не доказано, почему все три мальчика должны быть в одной комнате.

• В данной задаче не достаточно дать «голый ответ». Требуется привести рассуждения, которые привели к данному ответу. Только ответ оценивается в 0 баллов.
• При решении перебором необходимо предъявить полный перебор.

Оценивание:

• 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
• 5 баллов: Отсутствует обоснование того, почему число  не делится на 37.
• 3 балла: При решении перебором рассмотрены не все случаи и/или в некоторых случаях допущены ошибки.
• 2 балла: Присутствует разложение числа на множители, но после дан неверный вывод.
• 1 балл: Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.

Заряженного аккумулятора в сотовом телефоне хватает на 6 часов разговора или на 120 часов ожидания. Сколько времени надо проговорить, чтобы заряженный аккумулятор разрядился ровно через сутки?

Маша первый вторник месяца провела в Челябинске, а первый вторник после первого понедельника этого же месяца она была в Магнитогорске. В первую среду следующего месяца Маша была в Миассе, а первую среду после первого вторника того же месяца она провела в Екатеринбурге. Где Маша в том году была 8 марта?

Найдите наибольший простой делитель числа 99!+100!+101!.

 Можно ли разрезать квадрат на 4 части так, чтобы из них можно было сложить треугольник, у которого одна из сторон в 8 раз длиннее другой?