Задача 14.

Отправлено 16 мая 2017 г., 22:02 пользователем Vic Bloody

 Вася перемножил все нечетные натуральные числа, меньшие тысячи. Какая цифра стоит у произведения в разряде десятков?

Ответ: 2.

Решение. Обозначим произведение из условия задачи через П. Так как все числа нечетны, то П нечётно. Так как в произведение входят как минимум 2 множителя кратных 5, то П делится на 25. Поэтому оно оканчивается на 25 или 75. Остаток от деления П на 4 равен остатку от деления на 4 двузначного числа, образованного двумя его последними цифрами, то есть 1, если это 25, и 3, если это 75. Среди 500 сомножителей, дающих П, поровну — по 250 — дающих при делении на 4 остатки 1 и 3. Поскольку произведение чётного числа сомножителей, имеющих остаток 3 при делении на 4, имеет остаток 1 при делении на 4, такой же остаток при делении на 4 даёт и число П. Отсюда ответ.

Комментарии: 

  • Нечетные натуральные числа, меньшие тысячи, это числа от 1 до 999.
  • При решении математических задач применение вычислительной техники запрещено. То есть все вычисления требуется выполнять самостоятельно.
  • Если решение опирается на наблюдаемую в результатах закономерность, то требуется доказать, что это действительно закономерность, то есть она будет соблюдаться всегда.

Оценивание:

  • 7 баллов: Полностью обоснованное решение.
  • 5 баллов: Неполное обоснование причины, по которой произведение в каждой сотне, оканчивается на 75.
  • 3 балла: Не доказано, что наблюдаемое при вычислениях явление, является закономерностью. И при этом решение опирается на этот факт.
  • 2 баллаВерное решение для ряда нечетных чисел меньших 100.
  • 1 балл: Правильный ответ, при неверном решении. Верные рассуждения в начале решения, но после допущена логическая ошибка.
Comments